K-近邻(k-NN)算法学习
k 近邻算法的基本概念，原理
基本概念
k 近邻算法是一种基本分类和回归方法。本篇文章只讨论分类问题的 k 近邻法。
基本原理
K 近邻算法，即是给定一个训练数据集，对新的输入实例，在训练数据集中找到与该实例最邻近的 K 个实例，这 K 个实例的多数属于某个类，就把该输入实例分类到这个类中。（这就类似于现实生活中少数服从多数的思想）根据这个说法，咱们来看下引自维基百科上的一幅图：
如上图所示，有两类不同的样本数据，分别用蓝色的小正方形和红色的小三角形表示，而图正中间的那个绿色的圆所标示的数据则是待分类的数据。这也就是我们的目的，来了一个新的数据点，我要得到它的类别是什么？好的，下面我们根据 k 近邻的思想来给绿色圆点进行分类。
- 如果 K=3，绿色圆点的最邻近的 3 个点是 2 个红色小三角形和 1 个蓝色小正方形，少数从属于多数，基于统计的方法，判定绿色的这个待分类点属于红色的三角形一类。
- 如果 K=5，绿色圆点的最邻近的 5 个邻居是 2 个红色三角形和 3 个蓝色的正方形，还是少数从属于多数，基于统计的方法，判定绿色的这个待分类点属于蓝色的正方形一类。
从上面例子我们可以看出，k 近邻的算法思想非常的简单，也非常的容易理解，那么我们是不是就到此结束了，该算法的原理我们也已经懂了，也知道怎么给新来的点如何进行归类，只要找到离它最近的 k 个实例，哪个类别最多即可
KNN算法的优缺点
优点：精度高、对异常值不敏感、无数据输入假定
缺点：计算复杂度高、空间复杂度高（在高维情况下，会遇到「维数灾难」的问题）
k 近邻算法中 k 的选取以及特征归一化的重要性
选取 k 值以及它的影响
k 近邻的 k 值我们应该怎么选取呢？
如果我们选取较小的 k 值，那么就会意味着我们的整体模型会变得复杂，容易发生过拟合！恩~ 结论说完了，太抽象了吧你，不上图讲解号称通俗讲解的都是流氓~ 好吧，那我就上图来讲解
假设我们选取 k=1 这个极端情况，怎么就使得模型变得复杂，又容易过拟合了呢？
假设我们有训练数据和待分类点如下图：
上图中有俩类，一个是黑色的圆点，一个是蓝色的长方形，现在我们的待分类点是红色的五边形。
好，根据我们的 k 近邻算法步骤来决定待分类点应该归为哪一类。我们由图中可以得到，很容易我们能够看出来五边形离黑色的圆点最近，k 又等于 1，那太好了，我们最终判定待分类点是黑色的圆点。
由这个处理过程我们很容易能够感觉出问题了，如果 k 太小了，比如等于 1，那么模型就太复杂了[1]，我们很容易学习到噪声，也就非常容易判定为噪声类别，而在上图，如果，k 大一点，k 等于 8，把长方形都包括进来，我们很容易得到我们正确的分类应该是蓝色的长方形！如下图：
所谓的过拟合就是在训练集上准确率非常高，而在测试集上准确率低，经过上例，我们可以得到 k 太小会导致过拟合，很容易将一些噪声（如上图离五边形很近的黑色圆点）学习到模型中，而忽略了数据真实的分布！
如果我们选取较大的 k 值，就相当于用较大邻域中的训练数据进行预测，这时与输入实例较远的（不相似）训练实例也会对预测起作用，使预测发生错误，k 值的增大意味着整体模型变得简单。
我们想，如果 k = N（N 为训练样本的个数）, 那么无论输入实例是什么，都将简单地预测它属于在训练实例中最多的类。这时，模型是不是非常简单，这相当于你压根就没有训练模型呀！直接拿训练数据统计了一下各个数据的类别，找最大的而已！这好像下图所示：
我们统计了黑色圆形是 8 个，长方形个数是 7 个，那么哈哈，如果 k=N，我就得出结论了，红色五边形是属于黑色圆形的。
这个时候，模型过于简单，完全忽略训练数据实例中的大量有用信息，是不可取的。
恩，k 值既不能过大，也不能过小，在我举的这个例子中，我们 k 值的选择，在下图红色圆边界之间这个范围是最好的，如下图：
注：这里只是为了更好让大家理解，真实例子中不可能只有二维特征，但是原理是一样的，我们就是想找到较好的 k 值大小
那么我们一般怎么选取呢？李航博士书上讲到，我们一般选取一个较小的数值，通常采取 交叉验证法来选取最优的 k 值。（也就是说，选取 k 值很重要的关键是实验调参，类似于神经网络选取多少层这种，通过调整超参数来得到一个较好的结果）
距离的度量
在上文中说到，k 近邻算法是在训练数据集中找到与该实例最邻近的 K 个实例，这 K 个实例的多数属于某个类，我们就说预测点属于哪个类。
定义中所说的最邻近是如何度量呢？我们怎么知道谁跟测试点最邻近。这里就会引出我们几种度量俩个点之间距离的标准。
我们可以有以下几种度量方式：
设特征空间
这里
当
当
$$
L_{\infty}\left(x_{i}, x_{j}\right)=\max {l}\left|x{i}^{(l)}-x_{j}^{(l)}\right|
$$
其中当
特征归一化
首先举例如下，我用一个人身高(cm)与脚码（尺码）大小来作为特征值，类别为男性或者女性。我们现在如果有5个训练样本，分布如下：
A [(179,42),男] B [(178,43),男]
C [(165,36)女] D [(177,42),男]
E [(160,35),女]
通过上述训练样本，我们看出问题了吗？
很容易看到第一维身高特征是第二维脚码特征的4倍左右，那么在进行距离度量的时候，我们就会偏向于第一维特征。这样造成俩个特征并不是等价重要的，最终可能会导致距离计算错误，从而导致预测错误。口说无凭，举例如下：
现在我来了一个测试样本 F(167,43)，让我们来预测他是男性还是女性，我们采取 k=3 来预测。
下面我们用欧式距离分别算出F离训练样本的欧式距离，然后选取最近的 3 个，多数类别就是我们最终的结果，计算如下：
由计算可以得到，最近的前三个分别是 C,D,E 三个样本，那么由 C,E 为女性，D 为男性，女性多于男性得到我们要预测的结果为女性。
这样问题就来了，一个女性的脚 43 码的可能性，远远小于男性脚 43 码的可能性，那么为什么算法还是会预测 F 为女性呢？那是因为由于各个特征量纲的不同，在这里导致了身高的重要性已经远远大于脚码了，这是不客观的。所以我们应该让每个特征都是同等重要的！这也是我们要归一化的原因！归一化公式如下：
一般来说，假设进行 kNN 分类使用的样本特征为${(x_{i1},x_{i2},...,x_{in}) }{i=1}^m
M{j}=\max {i=1, \ldots, m} x{i j}-\min {i=1, \ldots, m} x{i j}
d\left(\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right),\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right)\right)=\sqrt{\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{y_{j}}{M_{j}}-\frac{z_{j}}{M_{j}}\right)^{2}}
$$
文章大部分内容转载自忆臻的一文搞懂 k 近邻（k-NN）算法